ما هو المنوال في الرياضيات، فهو من الأسئلة الرياضية المهمة التي كررها العديد من الطلاب حول معرفة الوضع، حيث يعتبر من مصطلحات الرياضيات ويستخدم في الإحصاء والاحتمالات إلى حد كبير، ويعتمد بشكل أساسي على المعدل الذي يعرف بالوسيلة الحسابية وغيرها، ومن خلال السطور التالية يمكننا أن نشرح أكثر عنه وكيف يتم احتسابه ومميزاته، وهو ما يهمه في طرح كل ما يتعلق بموضوعنا، وسيذكر بعض الأمثلة للتوضيح.
ما هو المنوال في الرياضيات
يُعرف الوضع بالمصطلح (Mode) باللغة الإنجليزية، وبطريقة مبسطة يمكن تعريفه على أنه الرقم الأكثر تواجدًا ضمن مجموعة من الأرقام، بالتفصيل، إنه التعبير الرئيسي للرقم الأكثر شيوعًا داخل مجموعة من البيانات، ناهيك عن أنها تُعرف بمجموعة القيم التي يمكن أن تصف القيمة المركزية لتلك المجموعة، حيث تُعتبر أحد المقاييس الثلاثة للاتجاه المركزي التي تُستخدم لتحليل البيانات في الإحصاء، ومن هنا يمكننا القول أن الوضع هو أحد علوم الإحصاء ويستخدم بكثرة في الاحتمالات وحساب المعدلات بشكل عام، وسنذكرك في السطور القادمة بكيفية حساب الوضع في الرياضيات، وأن الوضع لن يكون فقط رقم واحد، ولكن يمكن أن يكون لدينا أكثر من وضع في مجموعة واحدة من البيانات، والجدير بالذكر ؛ لطمأنة الطالب أكثر أثناء دراسته، أن طريقة الحصول على الوضع وكيفية حسابه سهلة للغاية، ولا يمكن التغلب عليها كمثال بسيط في المجموعة التالية: (1، 2، 3، 3، 4، 5، 5، 5، 6، 7، 8، 8) أي من هذه الأرقام يعبر عن الوضع ؟، كما ذكرنا أن الوضع هو الرقم الأكثر شيوعًا داخل المجموعة، لذا فإن الوضع هو الرقم 5 لأنه الأكثر شيوعًا، وهذا يعتمد على بقية الأمثلة.
ما هي الخصائص الرئيسية للمنوال؟
لا تنخدع بغرابة المصطلح الرياضي، فإن ما يدل على مظهره يعكس مكوناته. هناك العديد من خصائص الوضع والتي تميزه عن مقاييس النزعة الأخرى المستخدمة في الرياضيات مثل المتوسط الحسابي والوسيط وغيرهما، ويمكن أن نذكرها على النحو التالي:
- مقياس للميل المركزي بسيط وسهل الحساب وسريع الفهم.
- لا يتأثر حساب الوضع بالقيم القصوى ولكن بالأكثر شيوعًا في مجموعة البيانات.
- يمكننا حسابه بطريقة سهلة، حتى لو كان تردده منفصلاً (أي أن تردده غير متتالي).
- فائدة كبيرة جدا في فهم وتعريف البيانات النوعية.
- باستخدام جدول تردد مفتوح يمكننا حساب الوضع.
- يمكن حساب وضع مجموعة البيانات بيانياً.
- لا يمكننا تحديد الوضع ضمن مجموعة من البيانات التي لا توجد فيها قيم متكررة.
- عند حساب الوضع، فإنه لا يأخذ في الاعتبار جميع القيم الموجودة في المجموعة، أي أنه لا يعتمد عليها جميعًا في حسابه.
- يوجد عدم استقرار في الوضع يحدث إذا كانت المجموعة مكونة من عدد صغير من القيم.
- أيضًا، قد يوجد وضع واحد أو أكثر، قد يكونان وضعين أو ثلاثة أو أكثر في مجموعة واحدة من البيانات، أو قد لا تكون موجودة على الإطلاق.
كيفية حساب المنوال في الرياضيات
هناك بعض القيود التي تقف في طريق حساب الوضع من خلال مجموعة من البيانات التي يتم دراستها، حيث يمكن أن تحتوي مجموعة البيانات على وضع أو وضعين، وهذا ما يعرف بالنمط الثنائي أو الوضع الثنائي، أو أكثر من اثنين الأنماط وتسمى بالوسائط المتعددة، ومن الجدير بالقول أن الوضع له فائدة كبيرة جدًا في فهم وتحديد البيانات النوعية أو الفئوية في حياتنا، مثل: طرازات السيارات، ونكهات الصودا، والأشياء الأخرى التي يدخلها الوضع في التحديد، ومن ناحية أخرى، يمكن أن يكون الوضع مساويًا لقيمة المتوسط الحسابي أو الوسيط، وما يلي من خلال السطور التالية، يمكننا معرفة المزيد حول كيفية حساب الوضع في الرياضيات وطرقه المختلفة، و من خلال هذا سنذكر أمثلة، لنتعلم ما يلي:
حساب المنوال الفردي
يمكنك أن تجد في مجموعة بيانات تحتوي على منوال واحد فقط، كيف يتم حسابها ؟، من خلال خطوات متتالية يمكننا اتباعها للوصول إلى حساب منوال واحد، على النحو التالي:
- كتابة مجموعة البيانات المراد حسابها، حيث لا يمكن حسابها ذهنيًا في ظل وجود عدد كبير من البيانات.
- رتب الأرقام بترتيب تصاعدي، من الأصغر إلى الأكبر، لترتيب الأرقام المتشابهة مع بعضها البعض.
- نحسب عدد المرات التي يتكرر فيها كل رقم على حدة ونكتب الرقم فوقه أو نصنفه على الهامش بحيث يكون الرقم عدة مرات.
- من خلال القيام بذلك، نحدد الرقم الأكثر شيوعًا، حيث سيكون الوضع.
مثال على المنوال الحسابي الفردي
أي قيمة هي الوضع من بين القيم التالية في الجدول التالي:
| قيمة | 4 | 4 | 6 | 7 | 4 | 7 | 8 |
يمكننا اتباع الخطوات السابقة في حساب الوضع لمجموعة البيانات المدرجة في الجدول:
- من خلال ما تم إنجازه، يتضح لنا أن الرقم 4 يتكرر 3 مرات وهو الرقم الأكثر شيوعًا بين القيم، وبالتالي فإن الرقم 4 هو الوضع في مجموعة البيانات المدرجة في الجدول ؛ هذا لأنه يحتوي على عدد أكبر من التكرارات.
حساب واحد أو أكثر من المنوال الثنائية
يمكنك أن تجد في مجموعة من البيانات التي تحتوي على وضعين أو أكثر، كيف يتم حسابها ؟، من خلال خطوات متتالية يمكننا اتباعها للوصول إلى حساب وضعين أو أكثر في مجموعة من البيانات، وهي كالتالي:
- كتابة مجموعة البيانات المراد حسابها، حيث لا يمكن حسابها ذهنيًا في ظل وجود عدد كبير من البيانات.
- رتب الأرقام بترتيب تصاعدي، من الأصغر إلى الأكبر، لترتيب الأرقام المتشابهة مع بعضها البعض.
- نحسب عدد المرات التي يتكرر فيها كل رقم على حدة ونكتب الرقم فوقه أو نصنفه على الهامش بحيث يكون الرقم عدة مرات.
- من خلال القيام بذلك، نحدد الأرقام الأكثر شيوعًا من مجموعة البيانات، بحيث تكون القيم ذات التردد الأعلى هي الوضع.
مثال على المنوال الثنائي الحسابي
ما هي قيم الوضع من بين القيم التالية في الجدول التالي:
| قيمة | 4 | 4 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 |
يمكننا اتباع الخطوات السابقة في حساب قيم الوضع لمجموعة البيانات المدرجة في الجدول:
من خلال ما تم إنجازه، يتضح لنا أن الرقمين 2 و 4 يتكرران 4 مرات وهما الرقمان الأكثر شيوعًا بين القيم، لذا فإن الرقمين 2 و 4 هما الوضع في مجموعة البيانات المدرجة في الجدول ؛ هذا لأن لديهم عددًا أكبر من التكرارات.
مثال على حساب أكثر من منوالين
ما هي قيم الوضع من بين القيم التالية في الجدول التالي:
| قيمة | 7 | 5 | 7 | 5 | 9 | 3 | 9 |
يمكننا اتباع الخطوات السابقة في حساب قيم المنوال لمجموعة البيانات المدرجة في الجدول:
من خلال ما تم إنجازه، يتضح لنا أن الأرقام 7 و 5 و 9 تتكرر مرتين (2 من المرات) في مجموعة البيانات المدرجة في الجدول، وهي الأرقام الأكثر شيوعًا بين القيم. لذلك، فإن الأرقام 7 و 5 و 9 هي الوضع ؛ هذا لأنه يحتوي على عدد أكبر من التكرارات.
حساب المنوال بطريقة التجميع
يتم استخدام هذه الطريقة عندما يكون لجميع قيم مجموعة البيانات المضمنة نفس عدد التكرارات، وفي هذه الحالة يتعين علينا التعامل مع حساب الوضع بطريقة التجميع، حيث يتم تجميع جميع القيم في مجموعات لتقديرها. قيمة الوضع ومعرفة ما إذا كانت هناك مجموعة لديها قيم أكثر من غيرها، يجب أيضًا أن يقال أن الوضع لا يمكن أن يكون مفيدًا في هذه الحالة، ومن خلال هذا نحتاج إلى ذكر بعض الخطوات المتتالية التي نقوم بها تحتاج إلى حساب الوضع باستخدام طريقة التجميع، وهي كالتالي:
- نحتاج إلى استخدام مجموعات من عدد معين من الأرقام التي تنطبق عليهم جميعًا.
- نضع القيم المضمنة في مجموعة واحدة كما هي في مجموعة البيانات، لكننا نحصر هذه القيم بطريقة معينة، على سبيل المثال، نقسم المجموعات بحيث تحتوي كل مجموعة على 15 رقمًا، وكل من القيم المحددة بين الرقمين 0 و 14 في مجموعة واحدة، والقيم المحددة بين الرقمين 15 و 29 في مجموعة واحدة، والقيم التي تقع بين الرقمين 30 و 44 في مجموعة واحدة، ولذا يجب أن تستمر.
- نأخذ المجموعة التي تحتوي على أكبر عدد من القيم.
- ننظر إلى القيمة في منتصف المجموعة، ونأخذها ونعلن أنها قيمة الوضع.
ولكن إذا استخدمنا تركيبات مختلفة، فسنحصل أيضًا على إجابة مختلفة.
مثال على حساب المنوال بطريقة التجميع
ما هو الوضع الذي يعتبر من بين القيم التالية في الجدول التالي:
| قيمة | 1 | 8 | 10 | 11 | 14 | 19 | 23 | 26 | 29 |
يمكننا اتباع الخطوات السابقة في حساب قيم المنوال لمجموعة البيانات المدرجة في الجدول:
في هذا السؤال نستخدم المجموعات التي تحتوي كل مجموعة على 10 أرقام، ثم نضع القيم في الجدول ضمن المجموعات على النحو التالي:
- المجموعة الأولى من 0 إلى 9 تحتوي على القيم 1 و 8.
- المجموعة الثانية من 10 إلى 19 تحتوي على القيم 10 و 11 و 14 و 19.
- المجموعة الثالثة من 20 إلى 29 تحتوي على القيم 23 و 26 و 29.
المجموعة التي تحتوي على أكبر عدد من القيم هي المجموعة الثانية من 10 إلى 19، والقيمة في منتصف المجموعة هي 14، وبالتالي فإن قيمة الوضع هي 14 لمجموعة البيانات المدرجة في الجدول.
حساب المنوال بطريقة بيرسون
تعتمد طريقة بيرسون لإيجاد الوضع كليًا على الوسط الحسابي والوسيط، وتستخدم البيانات التي تم جمعها في شكل فئات في جدول تكراري، وفقًا لقانون محدد، وهو كالتالي:
- قيمة الوضع = (3 * الوسط الحسابي) – (2 * الوسط الحسابي).
حيث يتم حساب الوسط الحسابي عن طريق جمع قيم البيانات وقسمتها على عددها، ومن خلال الأمثلة التالية يتم توضيح طريقة حساب الوسط الحسابي بالقانون (عدد القيم في مجموعة البيانات +1 ) / 2 ومن خلال ما يلي سيتم توضيحه ولكن هناك بعض الخطوات المستخدمة لحساب الوضع بطريقة بيرسون وهي كالتالي:
- اضرب قيمة الوسيط الناتج في 3.
- اضرب المتوسط أو الوسط الحسابي في 2.
- اطرح حاصل ضرب الوسيط بمقدار 3 من حاصل ضرب المتوسط بمقدار 2.
- ستكون نتيجة الطرح هي قيمة الوضع.
مثال على حساب المنوال باستخدام طريقة بيرسون
ما هي القيمة التقريبية للوضع، إذا كان المتوسط الحسابي للتوزيع الرسومي هو 25، ومتوسط نفس التوزيع الرسومي هو 20 ؟:
- البيانات يعني = 22.5، الوسيط = 20.
- قيمة الوضع = (3 * متوسط) – (2 * متوسط) = (3 * 20) – (2 * 25) = 60-50 = 10.
- مما سبق، نحصل على القيمة التقريبية للوضع، وهي 10.
بهذا القدر من المعلومات الشاملة والمفصلة نصل إلى خاتمة مقالنا الذي كان بعنوان ما هو المنوال في الرياضيات، والذي ذكرنا فيه أهم وأهم خصائص الوضع في الرياضيات وما يميزه عن معايير أخرى، وكيفية حساب الوضع في الرياضيات، والذي يتكون من وضع واحد، وكيفية حسابه وأمثلة عليه، وضعين أو أكثر وأمثلة لحساب وضعين وأكثر من وضعين، كما ذكرنا كيفية الحساب الوضع حسب طريقة التجميع وطريقة بيرسون، وقد ذكرنا أمثلة لكل من طرق التجميع وطريقة بيرسون، ومن هنا أوضحنا بشيء من التفصيل كل ما يتعلق بالوضع بطريقة سهلة وسلسة لطلابنا.